Probabilitas dan Statistik: Ilmu Ketidakpastian: Mengukur Ketidakpastian: Fungsi Variabel Acak

Pada sesi ini, kita beralih dari deskripsi hasil secara kualitatif ke kerangka kuantitatif yang ketat. Kita mendefinisikan variabel acak bukan sebagai "variabel" dalam arti aljabar, tetapi sebagai pemetaan deterministik—suatu fungsi—yang mengubah elemen ruang sampel menjadi garis bilangan real.

Definisi Fungsional (Definisi 2.1.1)

Variabel acak $X$ adalah suatu fungsi $X: S \to R^1$ yang menetapkan bilangan real $X(s)$ untuk setiap hasil yang mungkin $s$ dalam ruang sampel $S$. Lihat Gambar 2.1.1 untuk pemetaan visual dari proses ini.

Fungsi Indikator ($I_A$)

Untuk menghubungkan teori himpunan dan aritmetika, kita mendefinisikan fungsi indikator dari suatu peristiwa $A$:

$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$

Ini mengubah terjadinya suatu peristiwa menjadi sinyal numerik biner.

Mendefinisikan Distribusi (Definisi 2.2.1)

Distribusi dari $X$ adalah kumpulan probabilitas $P(X \in B)$ untuk subset $B \subseteq R^1$. Secara ketat, diperlukan bahwa $B$ merupakan subset Borel, yang merupakan batasan teknis dari teori ukuran. Namun, setiap subset yang dapat kita definisikan secara praktis merupakan subset Borel.

Batasan dan Keberlanjutan Probabilitas

Untuk memastikan fungsi-fungsi kita berperilaku secara prediktif dalam konteks tak hingga, kita bergantung pada aksioma-aksioma yang ditetapkan dalam Teorema 1.3.4 dan 1.6.1:

Aditivitas Terhitung (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, di mana $B_n$ adalah versi saling lepas dari $A_n$.
Kontinuitas Probabilitas (1.7.2): Jika suatu barisan peristiwa $\{A_n\} \nearrow A$, maka $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$.

Bukti Teorema 1.3.4

Kita ingin membuktikan bahwa untuk barisan peristiwa apa pun $A_1, A_2, \dots$ (tidak harus saling lepas):

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$

Ini dikenal sebagai Ketidaksamaan Boole dan merupakan dasar penting untuk membatasi probabilitas dalam sistem kompleks.

🎯 Konteks Sejarah

Istilah "variabel acak" dipilih daripada "variabel kemungkinan" oleh Joe Doob dan William Feller melalui pelemparan koin pada awal tahun 1950-an. Meskipun secara teknis itu adalah suatu fungsi, nama "variabel" tetap digunakan sebagai warisan sejarah dari pelemparan koin terkenal tersebut.

PERTANYAAN 1

Misalkan $S = {1, 2, 3, \dots}$, dan misalkan $X(s) = s^2$ serta $Y(s) = 1/s$ untuk $s \in S$. Apakah jumlah ini ada sebagai variabel acak?

Ya, karena mereka adalah fungsi yang memetakan setiap s ke bilangan real.

Tidak, karena S adalah himpunan tak hingga.

Hanya X yang ada; Y adalah pecahan sehingga bukan suatu variabel.

Keduanya tidak ada karena rentangnya bukan himpunan Borel.

PERTANYAAN 2

Pertimbangkan pelemparan satu dadu enam sisi yang adil ($S = {1,2,3,4,5,6}$). Misalkan $X(s) = s$. Misalkan $Y = X^2$. Berapa nilai $P(Y \le 10)$?

$1/2$

$1/6$

$3/6$

$10/36$

PERTANYAAN 3

Matematikawan mana yang menang dalam pelemparan koin yang menentukan nama 'Variabel Acak' alih-alih 'Variabel Kemungkinan'?

Joe Doob dan William Feller (Variabel Acak menang)

Kolmogorov (Variabel Stokastik menang)

Thomas Bayes (Variabel Prior menang)

Pierre-Simon Laplace (Variabel Kemungkinan menang)

PERTANYAAN 4

Apa peran utama dari Fungsi Indikator $I_A$?

Untuk bertindak sebagai jembatan antara teori himpunan (peristiwa) dan aritmetika.

Untuk membuktikan bahwa suatu himpunan adalah Borel.

Untuk menghitung turunan dari distribusi.

Untuk menentukan apakah ruang sampel bersifat diskret.

PERTANYAAN 5

Menurut Teorema 1.6.1 (Kontinuitas Probabilitas), jika kita memiliki barisan peristiwa di mana $A_n \nearrow A$, apa yang dapat kita katakan tentang limitnya?

lim P(A_n) = P(A)

lim P(A_n) = 1

P(A) haruslah 0

Limit tidak ada untuk variabel tak terbatas.